二叉树

树(Tree)

树是计算机中经常用到的一种数据结构，与列表不同，它是一种非线性的数据结构，以分层的方式来储存数据。像公司的组织架构，就可以理解成一棵树。

一棵树最上面的节点被称为根节点，在下图中，A 就是根节点。如果一个节点下面连接多个节点，该节点被称为父节点，它下面的节点被成为子节点，一个节点可以有0、1或多个子节点，没有子节点的节点被称为叶子节点。A 是 B 的父节点，B 是 A 的子节点。C 和 D 属于同一个父节点 B，他们直接互相称之为兄弟，即互相为兄弟节点。C、D、F、H 和 I 都是叶子节点。

二叉树(Binary Tree)

二叉树是一种特殊的树，它的子节点个数不超过两个。上面的图就是一个二叉树。

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 $k$ ，且结点总数是$2^k - 1$，则它就是满二叉树。[来自百度百科]。

满二叉树(Full Binary Tree)

我们发现，满二叉树的所有叶子节点都在最底层，而且除了叶子节点，其他的节点都有左右两个子节点。

看完满二叉树，来认识一下由其引出来的完全二叉树，可能光看字面意思不是很好理解。若设二叉树的深度为 h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

对于大多数同学来说 ，满二叉树很好理解，但是到了完全二叉树可能就迷糊了，下面的图给出了几个完全二叉树和非完全二叉树的例子，相信你看了应该就明白是怎么回事了。

二叉树的存储结构

存储一棵二叉树，有两种方法，一种是基于指针或者引用的二叉链式存储，一种是基于数组的顺序存储。

先来看大家都比较熟悉、更加直观的链式存储结构。链式存储结构中，每一个结点包含三个关键属性：指向左子节点的指针，数据，指向右子节点的指针。

• 结构定义

class Node {
  public data: any;
  public left?: Node;
  public right?: Node;
  constructor({ data, left, right }) {
    this.data = data;
    this.left = left;
    this.right = right;
  }
}

再来看基于数组的顺序存储，为了帮助大家更好地理解，这里拿了一张完全二叉树的图。使用顺序存储，完全二叉树是非常合适的，可以自上而下，从左到右来顺序存储 n 个结点的完全二叉树。

我们把根节点放到 $i = 1$，那么根节点的左子节点存储在下标 $2 * i = 2$ 的位置，右子节点存储在 $2 * i + 1 = 3$ 的位置。依此类推，B 节点的左子节点存储在 $2 * i = 2 * 2 = 4$ 的位置，右子节点存储在 $2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5$ 的位置。

完全二叉树的这种存储结构，有以下特点：

• 非根节点的父节点对应数组下标为是 $i / 2$​

• 节点的左子节点的序号是 $2 * i$,如果$2 * i > n$，则左子节点不存在

• 节点的右子节点的序号是$2 * i + 1$，如果$2* i > n + 1$，则右子节点不存在

如果不是完全二叉树，用这种结构来存储会浪费比较多的空间，可以看下面的图。

因此，如果一棵树刚好是完全二叉树，采用顺序存储是最节省内存空间的，不需要额外再提供左右两个指针。

二叉树的遍历

二叉树的常见的遍历方法有 3 种：前序遍历、中序遍历、和后序遍历，依据节点和它的左右子树的遍历顺序不同来划分。

• 前序遍历：对于二叉树中的任意节点，先访问该节点，再去访问当前节点的左子树，然后是右子树，若当前节点无左子树，则访问当前节点的右子树；

• 中序遍历：对于二叉树中的任意节点，先访问该节点的左子树，再去访问当前节点，然后是右子树；

• 后序遍历：对于二叉树中的任意节点，先访问该节点的左子树，再去访问当前节点的右子树，然后是当前节点；

二叉树是一种递归形式的数据结构，因此对于二叉树的 3 种遍历，我们就可以借助其自身的特性，通过递归实现。

// 前序遍历
function preTraversal(node) {
  if (node === null) {
    return;
  }
  console.log(node.data);
  preTraversal(node.left);
  preTraversal(node.right);
}
​
// 中序遍历
function inTraversal(node) {
  if (node === null) {
    return;
  }
  inTraversal(node.left);
  console.log(node.data);
  inTraversal(node.right);
}
​
// 后序遍历
function postTraversal(node) {
  if (node === null) {
    return;
  }
  postTraversal(node.left);
  postTraversal(node.right);
  console.log(node.data);
}

可以看到，使用递归实现二叉树的遍历十分简单。

二叉查找树(Binary Search Tree)

二叉查找树(BST)是一种特殊的二叉树，较小的值保存在左子树中，较大的值保存在右子树中，这一特性使得 查找的效率很高。因此它又有另外一个名字，叫二叉排序树(Binary Sort Tree)。看了图是不是瞬间明白二叉查找树是个啥。

二叉查找树的查找

对于 BST 通常有以下 3 种类型的查找：

• 找给定值

• 找最小值

• 找最大值

根据二叉查找树的属性，查找最小值和最大值比较简单。因为较小的值总是在左子节点上，要找到最小值，只需要遍历左子树，直到找到最后一个节点。

function getMin() {
  let currentNode = this.tree;
  while (currentNode.left !== null) {
    currentNode = currentNode.left;
  }
  return currentNode.data;
}

查找最大值也是同理，只需遍历右子树，直到找到最后一个节点即可。

function getMax() {
  let currentNode = this.tree;
  while (currentNode.right !== null) {
    currentNode = currentNode.right;
  }
  return currentNode.data;
}

在 BST 上查找给定值，通过比较该值和当前节点上的值的大小，就能够确定向左还是向右遍历。

function find(data) {
  let node = this.tree;
  while (node !== null) {
    if (node.data === data) {
      return node;
    } else if (data < node.data) {
      node = node.left;
    } else {
      node = node.right;
    }
  }
}

二叉查找树的插入

在二叉查找树中插入元素比较复杂，分为以下几种情况：

• 首先需要检查 BST 是否有根节点，如果没有，插入的节点就是根节点，就完事了

• 如果待插入的节点不是根节点，那么就需要遍历整棵树，找到合适的位置

如果要插入的数据大于当前节点，并且当前节点的右子树为空，就将新数据插入到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据小于当前节点，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。

function insert(data) {
  const n = new Node(data);
  if (this.tree === null) {
    this.tree = n;
    return;
  }
​
  let node = this.tree;
  while (node !== null) {
    if (data > node.data) {
      if (node.right === null) {
        node.right = n;
        return;
      }
      node = node.right;
    } else {
      if (data < node.data) {
        if (ndoe.left === null) {
          node.left = n;
          return;
        }
        node = node.left;
      }
    }
  }
​
}

二叉查找树的删除

在二叉查找树上删除节点的操作最复杂，牵一发而动全身，节点直接存在相互关联。如果删除的是没有子节点的节点，那就直接删掉就完事了。稍微麻烦的是删除节点只有一个子节点的情况，如果删除的节点包含两个子节点，那就是最麻烦的了。

如果没有子节点，直接把要删除的节点干掉就行

只有一个子节点只需要把更新父节点指向要删除节点的指针，指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中删除节点的节点是 16，把 15 指向 13 的指针指向 20 即可。

现在来看最复杂的情况：

有两个子节点，我们需要查找右子树上的最小值，把它拿到待删除的节点上，然后再删除这个最小的节点。删除这个最小的节点，又回到了上面讲的两条规则，这个最小节点不可能有两个子节点，如果有左子节点，就不是最小节点了。

function remove(data) {
  let node = this.tree;
  let parentNode;
  while (node !== null && node.data != data) {
    parentNode = node;
    if (data > node.data) {
      node = node.right;
    } else {
      node = node.left;
    }
  }
​
  if (node === null) {
    return; // 没找着
  }
​
  // 我们采用非递归的方式，先处理要删除的节点有两个子节点的情况
  if (node.left !== null && node.right !== null) {
    // 查找右子树中最小节点
    let minNodeParent = node;
    let minNode = minNodeParent.right;
    while (minNodeParent.left !== null) {
      minNodeParent = minNode;
      minNode = minNode.left;
    }
    node.data = minNode.data;
    node = minNode; // 下面就变成删除 minNode 了
    parentNode = minNodeParent;
  }
​
  // 删除节点是叶子节点或者只有一个子节点
  let childNode = null;
  if (node.left !== null) {
    childNode = node.left;
  } else if (node.right !== null) {
    childNode = node.right;
  }
​
  if (parentNode === null) { // 父节点是 null，说明删除的是根节点
    this.tree = childNode;
  // 第二种情况，把父节点的指向删除节点的指针指向删除节点的子节点
  // 删除的是 node，把 parentNode 指向 node 的指针，指向 childNode
  } else if (parentNode.left === node) {
    parentNode.left = childNode;
  } else {
    parentNode.right = childNode;
  }
}

本章节分为 4 个部分：

• Part 1

  • 最小栈

  • Shuffle an Array

  • 将有序数组转换为二叉搜索树

• Part 2

  • 对称二叉树

  • 二叉树的最大深度

  • 验证二叉搜索树

• Part 3

  • 二叉树的层次遍历

  • 二叉树的序列化与反序列化

• Part 4

  • 中序遍历二叉树

  • 从前序与中序遍历序列构造二叉树

  • 二叉搜索树中第 K 小的元素

• Part 5

  • 填充每个节点的下一个右侧节点指针

  • 岛屿数量

  • 二叉树的锯齿形层次遍历

阅读完本章节，你将有以下收获：

• 熟悉栈的数据结构，可以解决基本栈相关问题

• 掌握二叉树的概念

• 会用不同的方法去遍历二叉树，解决相关问题