在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置、数组中的第K个最大元素和颜色分类

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给定一个按照升序排列的整数数组 nums,和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。

如果数组中不存在目标值,返回 [-1, -1]。

示例

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出: [3,4]
输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出: [-1,-1]

方法一 二分查找

思路

由于数组已经时升序排列,可直接根据二分查找,往左定位第一个位置,往右定位最后一个位置 二分查找的实现上可以使用循环或者递归。

详解

  1. 根据二分查找,找到左边第一个不小于目标值的位置

  2. 从上一步中的位置开始到最后,二分查找,确定右边最后一个符合条件值的位置

  3. 得到结果

function getBinarySearchLowerBound (array, low, high, target) {
// 找到第一个不小于目标值的位置
while (low < high) {
const mid = Math.floor((low + high) / 2);
if (array[mid] < target) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid;
}
}
// 如果相等,则匹配,否则不匹配
return array[low] === target ? low : -1;
}
function getBinarySearchUpperBound (array, low, high, target) {
// 找到第一个不大于目标值的位置
while (low < high) {
const mid = Math.ceil((low + high) / 2);
if (array[mid] > target) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid;
}
}
// 如果相等,则匹配,否则不匹配
return array[high] === target ? high : -1;
}
const searchRange = function (nums, target) {
const size = nums.length;
const low = getBinarySearchLowerBound(nums, 0, size - 1, target);
if (low === -1) {
return [-1, -1];
}
// 从左边数字的位置开始
const high = getBinarySearchUpperBound(nums, low >= 0 ? low : 0, size - 1, target);
return [low, high];
};

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(log(n))O(log(n))

    过程中最差情况会遍历二遍数组

  • 空间复杂度:O(1)O(1)

    产生三个临时变量存储

数组中的第K个最大元素

在未排序的数组中找到第 k 个最大的元素。请注意,你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素,而不是第 k 个不同的元素。

示例1:

输入: [3,2,1,5,6,4] 和 k = 2
输出: 5

示例2:

输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6] 和 k = 4
输出: 4

说明:你可以假设 k 总是有效的,且 1 ≤ k ≤ 数组的长度。

方法一

思路

首先通过快速排序的方法将数组升序排序,此时数组的头部为最小的元素,尾部为数组最大的元素。题目要求找到数组中的第 K 个最大的元素,即返回 length - k 个元素即可。

详解

  1. 本方法采用快速排序法;

  2. 首先通过 arr[Math.floor((start + end) / 2)] 找到数组中间的元素作为主元;

  3. 然后使用双指针,分别从数组的头部和尾部遍历数组;

  4. 遍历过程中,把比主元小的数都放到主元的左边,比主元大的数都放到主元的右边,实现数组的升序排序;

  5. 返回第 length - k 个元素,即为数组中第 k 个最大的元素。

const findKthLargest = function (nums, k) {
return findK(nums, 0, nums.length - 1, nums.length - k);
};
function findK (arr, start, end, k) {
if (start === end) return arr[start];
// 主元
const pivot = arr[Math.floor((start + end) / 2)];
let i = start; let j = end;
while (i <= j) {
while (arr[i] < pivot) i++;
while (arr[j] > pivot) j--;
if (i <= j) {
swap(arr, i, j);
i++;
j--;
}
}
// 二分查到k位置
if (k >= (i - start)) {
return findK(arr, i, end, k - i + start);
} else {
return findK(arr, start, i - 1, k);
}
}
// 元素交换
function swap (arr, i, j) {
const temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度: O(nlogn)O(n log n)

上述解法中,采用了快速排序的方法,快排的时间复杂度 O(nlogn)O(n log n)

  • 空间复杂度: O(1)O(1)

上述解法中,申请了四个额外的临时存储空间,这将耗费 O(1)O(1) 的空间。

方法二

思路

首先通过最小堆排序的方法将数组升序排序,排序完的数组如下图所示:

此时数组的头部为最小的元素,尾部为数组最大的元素。题目要求找到数组中的第 K 个最大的元素,即返回 length - k 个元素即可。

详解

  1. 本方法采用最小堆排序法;

  2. 首先建立最小堆,将每个叶子结点视为一个堆,再将每个叶子结点与其父节点一起构成一个包含更多结点的堆;

  3. 所以在构造堆的时候,首先需要找到最后一个结点的父节点,从这个节点开始构造最小堆,直到该节点前面的所有分支节点都处理完毕;

  4. 然后返回第 length - k 个,即为数组中第 k 个最大的元素。

const findKthLargest = function (nums, k) {
const size = nums.length;
// 建立堆
for (let i = parseInt(size / 2) + 1; i >= 0; i--) {
heapify(nums, i, size);
}
// 排序
for (let j = size - 1; j >= size - k; j--) {
// 得到本次的最大,将最大的与最后一个交换位子
swap(nums, 0, j);
heapify(nums, 0, j);
}
return nums[size - k];
};
function heapify (arr, x, length) {
// 左右两个子节点
const l = 2 * x + 1;
const r = 2 * x + 2;
let largest = x;
if (l < length && arr[l] > arr[largest]) {
largest = l;
}
if (r < length && arr[r] > arr[largest]) {
largest = r;
}
if (largest !== x) {
swap(arr, x, largest);
// 递归交换以下的是否也建好堆.
heapify(arr, largest, length);
}
}
function swap (arr, i, j) {
const temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度: O(nlogn)O(n log n)

上述解法中,采用了堆排序的方法,堆排序的时间复杂度 O(nlogn)O(n log n)

  • 空间复杂度: O(1)O(1)

上述解法中,申请了四个额外的临时存储空间,这将耗费 O(1)O(1) 的空间。

方法三

思路

首先通过冒泡排序的方法将数组升序排序,此时数组的头部为最小的元素,尾部为数组最大的元素。题目要求找到数组中的第 K 个最大的元素,即返回 length - k 个元素即可。

详解

  1. 本方法采用经典冒泡排序法;

  2. 比较相邻的元素,如果第一个比第二个大,就交换他们两个;

  3. 对每一对相邻元素作同样的工作,从开始第一对到结尾的最后一对;

  4. 完成步骤 3 后,最后的元素会是最大的数,实现升序排序;

  5. 返回第 len-k 个元素,即为数组中第 k 个最大的元素。

const findKthLargest = function (nums, k) {
const len = nums.length;
for (let i = len - 1; i > 0; i--) {
// 冒泡排序
for (let j = 1; j <= i; j++) {
// 异或交换,详见题外话解析
if (nums[j - 1] > nums[j]) {
nums[j - 1] ^= nums[j];
nums[j] ^= nums[j - 1];
nums[j - 1] ^= nums[j];
}
}
if (i === (len - k)) {
return nums[i];
}
}
return nums[0];
};

复杂度分析

  • 时间复杂度: O(n2)O(n^2)

上述解法中,内外两层循环,时间复杂度 O(n2)O(n^2)

  • 空间复杂度: O(1)O(1)

上述解法中,最优的情况是开始时元素已经按顺序排好,空间复杂度为 0 ,最差的情况是开始时元素逆序排序,此时空间复杂度 O(n)O(n),平均空间复杂度 O(1)O(1)

复杂度分析:

  • 时间复杂度: O(n2)O(n^2),内外两层循环,时间复杂度 O(n2)O(n^2)

  • 空间复杂度: O(1)O(1),最优的情况是开始时元素已经按顺序排好,空间复杂度为0,最差的情况是开始时元素逆序排序,此时空间复杂度 O(n)O(n),平均空间复杂度 O(1)O(1)

题外话

对于给定两个整数a,b,下面的异或运算可以实现a,b的交换,而无需借助第3个临时变量:

a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;

这个交换两个变量而无需借助第3个临时变量过程,其实现主要是基于异或运算的如下性质:

  1. 任意一个变量X与其自身进行异或运算,结果为0,即X ^ X=0

  2. 任意一个变量X与0进行异或运算,结果不变,即X ^ 0=X

  3. 异或运算具有可结合性,即a ^ b ^ c =(a ^ b)^ c= a ^( b ^ c)

  4. 异或运算具有可交换性,即a ^ b = b ^ a

分析:

第一步: a = a ^ b;

完成后 a变量的结果为a ^ b

第二步: b = a ^ b;

此时赋值号右边的 a 保存的是 a ^ b 的值,那么将赋值号右边的 a 用 a ^ b 替换,

得到(a ^ b) ^ b = a ^ (b ^ b)=a ^ 0=a,

即经过第二步运算后 b 中的值为 a ,即 b=a ,将 a 换到了 b 里

第三步: a = a ^ b;

此时赋值号右边的 a 保存的仍然是 a ^ b 的值,不变,而赋值号右边的 b 已经是 a 了,

将赋值号右边的 a,b 分别进行替换,

即此时赋值号右边 a ^ b=(a ^ b)^ a=a ^ b^ a=a ^ a^ b=0^ b=b, 该值赋值给 a ,即 a=b

即经过第三步运算后 a 中的值为 b ,即 a=b, 将 b 换到了 a 里

这样经过如上的三步骤,完成了交换两个变量 a,b 而无需借助第 3 个临时变量过程。

颜色分类

给定一个包含红色、白色和蓝色,一共 n 个元素的数组,原地对它们进行排序,使得相同颜色的元素相邻,并按照红色、白色、蓝色顺序排列。

此题中,我们使用整数 0、 1 和 2 分别表示红色、白色和蓝色。

注意: 不能使用代码库中的排序函数来解决这道题。

示例

输入: [2,0,2,1,1,0]
输出: [0,0,1,1,2,2]

方法一 直接计算

思路

直接遍历整个数组,分别计算出红蓝白球的个数,然后按照红色、白色、蓝色顺序依次存入数组。

详解

  1. 设定三个变量 red, white,blue 分别表示红球、白球和蓝球。

  2. 遍历数组,遇到 0 则使 red 自增1,遇到 1 则使 white 自增1,遇到 2 则使 blue 自增1。

  3. 根据红白蓝的个数,依次将 0,1,2 存入数组。

/**
* @param {number[]} nums
* @return {void} Do not return anything, modify nums in-place instead.
*/
const sortColors = function (nums) {
let red = 0;
let blue = 0;
let white = 0;
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
if (nums[i] === 0) {
red++;
} else if (nums[i] === 1) {
blue++;
} else if (nums[i] === 2) {
white++;
}
}
let index = 0;
for (let i = 0; i < red; i++) {
nums[index++] = 0;
}
for (let i = 0; i < blue; i++) {
nums[index++] = 1;
}
for (let i = 0; i < white; i++) {
nums[index++] = 2;
}
};

复杂度分析

  • 时间复杂度: O(n)O(n)

  • 空间复杂度: O(n)O(n)

方法二 双指针遍历

思路

设定三个指针 begin, end, i,用 i 遍历数组,遇到 0,1 时分别将值与 begin, end 指向的值交换。这种方法相对于方法一的好处是只使用了一个常数空间。

详解

  1. 设定一头一尾两个指针 begin 和 end,然后用一个指针 i 从头开始遍历数组。

  2. 如果遇到 0,则将该数值与begin指向的值交换,并且使begin向后移一位。

  3. 如果遇到 2,则将该数值与end指向的值交换,并且使end向前移一位,并且此时不需自加 i

  4. 如果遇到 1,则继续。

  5. 最终得到新数组。

/**
* @param {number[]} nums
* @return {void} Do not return anything, modify nums in-place instead.
*/
const sortColors = function (nums) {
let begin = 0;
let end = nums.length - 1;
let i = 0;
while (i <= end) {
if (nums[i] === 0) {
nums[i] = nums[begin];
nums[begin] = 0;
i++;
begin++;
} else if (nums[i] === 2) {
nums[i] = nums[end];
nums[end] = 2;
end--;
} else {
i++;
}
}
};

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(n)O(n)

  • 空间复杂度:O(1)O(1)

方法三 使用各种排序法

思路

本题的实质是将数字从小到大排序,可以使用各种排序法(冒泡排序法,选择排序法,快速排序法等),这里举一个冒泡排序法的例子。

/**
* @param {number[]} nums
* @return {void} Do not return anything, modify nums in-place instead.
*/
const sortColors = function (nums) {
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
for (let j = 0; j < nums.length - i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
const tem = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tem;
}
}
}
};

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(n2)O(n^2)

    遍历了两次含n个元素的空间

  • 空间复杂度:O(1)O(1)

    排序过程没有用到新的空间存储数据