搜索二维矩阵 II和计算右侧小于当前元素的个数

搜索二维矩阵 II

编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target。该矩阵具有以下特性：

每行的元素从左到右升序排列。 每列的元素从上到下升序排列。

示例

现有矩阵 matrix 如下：
​
[
  [1,   4,  7, 11, 15],
  [2,   5,  8, 12, 19],
  [3,   6,  9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]
​
给定 target = 5，返回 true。
​
给定 target = 20，返回 false。

方法一 暴力法

思路

题目只需找出二维数组中是否包含目标值，因此直接用两个 for 循环遍历二维矩阵的所有元素，找到目标元素则返回 true，遍历完仍未找到则返回 false。

详解

1. 第一层 for 循环取到二维数组中所有的一维数组

2. 第二层 for 循环中用两个索引值取到二维数组中每一个具体的值

3. 将取到的每一个值和目标值作比较，若相同则返回 true

4. 若直到所有循环结束还未找到与目标值相同的值则返回 false

代码

const searchMatrix = function (matrix, target) {
  for (let i = 0; i < matrix.length; i++) {
    for (let j = 0; j < matrix[i].length; j++) {
      if (matrix[i][j] === target) {
        return true;
      }
    }
  }
  return false;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$ 通过遍历二维矩阵的所有元素来寻找它所对应的目标元素，这将耗费 $O(n^2)$ 的时间。

• 空间复杂度：$O(1)$​

方法二 相邻比较法

思路

由于矩阵的行和列是排序的，从左到右递增，从上到下递增，所以对任意元素和目标值比较大小时，总可以去找相对较小（往左往上）或相对较大（往右往下）的值继续比较，直到找到目标值或找不到。

详解

1. 直接取二维数组中左下角的值和目标值比较

2. 若该值比目标值大，则向上查找（第一个索引减 1），若该值比目标值小，则向右查找（第二个索引加 1）

3. 重复该操作，当查询值等于目标值时则返回 true

4. 若直到查询值离开二维数组时还未找到目标值则返回 false

代码

const searchMatrix = function (matrix, target) {
  let j = matrix.length - 1;
  let i = 0;
  while (j >= 0 && i < matrix[0].length) {
    if (matrix[j][i] > target) {
      j--;
    } else if (matrix[j][i] < target) {
      i++;
    } else {
      return true;
    }
  }
  return false;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n + m)$ 由于行只能运算 m 次，列只能运算 n 次，是两个变量之和，这将耗费 $O(n + m)$ 的时间。

• 空间复杂度：$O(1)$ 用到了两个变量，其空间复杂度为 $O(1)$​

计算右侧小于当前元素的个数

给定一个整数数组 nums，按要求返回一个新数组 counts。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。

示例

输入: [5,2,6,1]
输出: [2,1,1,0] 
解释:
5 的右侧有 2 个更小的元素 (2 和 1).
2 的右侧仅有 1 个更小的元素 (1).
6 的右侧有 1 个更小的元素 (1).
1 的右侧有 0 个更小的元素.

方法一 暴力法

思路

暴力法很简单，遍历每个元素 x，并遍历查找在其后边并且比它小的元素，进行累加，最后将统计出来的个数 push 到新开辟的数组中。

详解

算法流程：

1. 声明一个数组用来存储最后的结果；

2. 第一层循环用来遍历所有的元素；

3. 循环体内先声明一个变量，初始值为 0，用来记录当前元素右边并且比当前元素小的个数；

4. 接下来通过第二个循环来计算当前元素右边比它小的数，由于只需要计算它右边的数，所以第二个循环从第 i + 1 开始，遍历到数组的最后一个值即可。第二层循环体内通过 if 语句来判断比当前元素小的数，然后执行 num ++;

代码

const countSmaller = (nums) => {
  const newArr = [];
  for (let i = 0, len = nums.length; i < len; i += 1) {
    let num = 0;
    for (let j = i + 1; j < nums.length; j += 1) {
      if (nums[j] < nums[i]) {
        num += 1;
      }
    }
    newArr.push(num);
  }
  return newArr;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$ 对于每个元素，通过遍历数组的其余部分来寻找它所对应的目标元素，所以时间复杂度为 $O(n^2)$。

• 空间复杂度：$O(n)$ 额外开辟了一个数组来存放结果，所以空间复杂度为 $O(n)$。

方法二 排序法

思路

首先将数组元素进行从小到大的排序，排序完成后，遍历原数组，找出原数组中当前元素在排序后的数组中的数组下标，即为该元素右侧比它小的个数，然后将排序后的数组中的这个元素删除。

例如: 原数组 nums = [5,2,6,1]； 排序后的数组为 newArr = [1,2,5,6]; 对原数组 nums 进行遍历，首先是元素 5，在 newArr 中其数组下标为 2，其右侧比它小的元素有2个；然后将 newArr 中的5这个元素删除，newArr = [1,2,6]；接下来是元素2，在newArr中的下标为1，然后将 newArr 中的2这个元素删除，其右侧比它小的元素有1个；以此类推...

详解

算法流程：

1. 将原数组从小到大排序，并声明一个新数组来存储；

2. 声明一个数组用来存储最后的结果；

3. 对原数组进行遍历；

4. 通过数组的方法 indexOf 找到遍历的当前元素在排序后的数组中的位置，并赋值给变量index，该变量的值即为当前元素右侧比它小的个数；

5. 通过数组的方法 splice ，把当前元素从原数组中删除；

代码

const countSmaller = (nums) => {
  const newArr = [...nums].sort((a, b) => a - b);
  const result = [];
  nums.forEach((n) => {
    const index = newArr.indexOf(n);
    result.push(index);
    newArr.splice(index, 1);
  });
  return result;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(nlogn)$ 代码中 sort 函数的时间复杂度为 $O(nlogn)$，for 循环的时间复杂度为 $O(n)$，因此整体的时间复杂度为 $O(nlogn)$。

• 空间复杂度：$O(n)$ 申请了 2 个大小为 n 的数组空间，因此空间复杂度为 $O(n)$。