3的幂、Excel表列序号、快乐数和阶乘后的零

3的幂

给定一个整数，写一个函数来判断它是否是 3 的幂次方。

进阶： 你能不使用循环或者递归来完成本题吗？

示例 1：

输入: 27
输出: true

示例 2：

输入: 0
输出: false

示例 3：

输入: 9
输出: true

示例 4：

输入: 45
输出: false

题目分析

• 3 的幂，顾名思义，需要判断当前数字是否可以一直被 3 整除

• 特殊情况：如果 n === 1，即 3 的 0 次幂的情况，应输出 true

方法一 循环求解

思路

基本想法，可以利用循环解决。排除特殊情况后，用待确定的数字 n，循环除以 3，看是否能被 3 整除。

详解

1、判断特殊情况，若待定值 n 小于 1 则直接返回 false

2、循环判断待定值 n 是否可以被 3 整除

3、若不可以被 3 整除则返回 false，若可以则将该数字除以 3，直至循环结束

4、其余情况则返回 true

代码

/**
 * @param {number} n
 * @return {boolean}
 */
const isPowerOfThree = function (n) {
  if (n < 1) {
    return false;
  }
  while (n > 1) {
    // 如果该数字不能被 3 整除，则直接输出 false
    if (n % 3 !== 0) {
      return false;
    } else {
      n = n / 3;
    }
  }
  return true;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$​

  该解法中， while 循环耗时 $O(n)$，其余为 $O(1)$，因此总时间复杂度为 $O(n)$。

• 空间复杂度：$O(1)$​

  该解法中，未申请额外的空间，因此空间复杂度为 $O(1)$。

解法二 递归求解

思路

或许，我们可以考虑使用递归的方法实现。递归的思路类似于循环，只不过将循环体改为方法的递归调用。

详解

1、判断特殊情况 n === 1 时，直接返回 true

2、判断特殊情况 n <= 0 时，直接返回 false

3、若待定值 n 可以被 3 整除，则开始递归

4、若不满足上述条件，则返回 false

代码

/**
 * @param {number} n
 * @return {boolean}
 */
const isPowerOfThree = function (n) {
  // n === 1，即 3 的 0 次幂，返回 true
  if (n === 1) {
    return true;
  }
  if (n <= 0) {
    return false;
  }
  if (n % 3 === 0) {
    // 递归调用 isPowerOfThree 方法
    return isPowerOfThree(n / 3);
  }
  return false;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$​

  该解法中，递归耗时 $O(n)$ ，普通条件判断耗时 $O(1)$ ，整个算法时间复杂度为 $O(n)$​

• 空间复杂度：$O(n)$​

  该解法中，由于递归依赖于栈，因此其空间复杂度为 $O(n)$。

方法三 神奇的解法

思路

进阶！既无循环又无递归。

既然要判断输入值是否为 3 的幂，我们可以巧妙的依赖它是否能被 3 的幂的极大值整除来作为判断依据。因此首先要找到 3 的最大次幂。

计算机中最大的整数是 2147483647，转换成 16 进制为 0x7fffffff。Math.log(x) / Math.log(y) 方法可以求出以 y 为底，x 的对数，即 y 的多少次幂的值是 x，我们称之为 maxPow。由于该值不能被整除，此处 maxPow 只需取整数部分。最后，我们可以利用 Math.pow 求出 3 的幂的极大值 maxValue，并检查该值是否能整除待确定的输入值。

详解

1、判断特殊情况 n <= 0 时，直接返回 false

2、求计算机允许情况下 3 的最大次幂， 记为 maxPow

3、求 3 的 maxPow 次幂值

4、判断 3 的 maxPow 次幂值是否能整除待定值 n

代码

/**
 * @param {number} n
 * @return {boolean}
 */
const isPowerOfThree = function (n) {
  if (n <= 0) {
    return false;
  }
  // 求 3 的最大次幂
  const maxPow = parseInt((Math.log(0x7fffffff) / Math.log(3)));
  // 求 3 的 maxPow 次幂值
  const maxValue = Math.pow(3, maxPow);
  // 判断该值是否能整除待定值 n
  return (maxValue % n === 0);
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$​

  一般情况下， Math.pow 的时间复杂度为 $O(1)$，取整和除法的复杂度也为 $O(1)$，因此该解法的时间复杂度为 $O(1)$。

• 空间复杂度：$O(1)$​

  该解法中，仅申请了 2 个常量级的额外空间，因此空间复杂度为 $O(1)$。

Excel表列序号

给定一个Excel表格中的列名称，返回其相应的列序号。

示例

A -> 1
B -> 2
C -> 3
...
Z -> 26
AA -> 27
AB -> 28
输入: "A",
输出: 1
输入: "AB",
输出: 28

方法一

思路

从末尾开始取得每一个字符对应的数 cur = c.charCodeAt() - 64（ 因为 A 的caarCode为 64） 因为有 26 个字母，所以相当于 26 进制，每 26 个数则向前进一位 数字总和 sum += 当前数 进制位数 进制位数 = 26，初始化进制位数 carry = 1

详解

1. 创建临时变量 sum 和始化进制位数 carry

2. 循环数组

3. 数字总和 sum += 当前数 * 进制位数

4. 进制位数 *= 26

/**
 * @param {string} s
 * @return {number}
 */
const titleToNumber = function (s) {
  let sum = 0;
  let i = s.length - 1;
  let carry = 1;
  while (i >= 0) {
    const cur = s[i].charCodeAt() - 64;
    sum += cur * carry;
    carry *= 26;
    i--;
  }
  return sum;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$​

  对于每个元素，通过一次遍历数组的其余部分来寻找它所对应的目标元素，这将耗费 $O(n)$的时间。

• 空间复杂度：$O(1)$​

  由于算法中临时变量得个数与循环次数无关，所以空间复杂度为 $O(1)$​

方法二

思路

因为有26个字母，相当于 26 进制转 10 进制

详解

1. 26 进制 转化 10 进制公式，ans = ans * 26 + num

2. 比如：AB = 12* 6 +2 = 28，ZY=26 * 26+25 = 701

/**
 * @param {string} s
 * @return {number}
 */
const titleToNumber = function (s) {
  const arr = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I', 'J', 'K', 'L', 'M', 'N', 'O', 'P', 'Q', 'R', 'S', 'T', 'U', 'V', 'W', 'X', 'Y', 'Z'];
  const len = s.length;
  let sum = 0;
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    sum = (arr.indexOf(s[i]) + 1) * Math.pow(26, len - 1 - i) + sum;
  }
  return sum;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$​

  对于每个元素，通过一次遍历数组的其余部分来寻找它所对应的目标元素，这将耗费 $O(n)$ 的时间。

• 空间复杂度：$O(1)$​

  由于算法中临时变量得个数与循环次数无关，所以空间复杂度为 $O(1)$​

快乐数

编写一个算法来判断一个数是不是“快乐数”。

一个“快乐数”定义为：对于一个正整数，每一次将该数替换为它每个位置上的数字的平方和，然后重复这个过程直到这个数变为 1，也可能是无限循环但始终变不到 1。如果可以变为 1，那么这个数就是快乐数。

示例

输入: 19
输出: true
解释:
1^2 + 9^2 = 82
8^2 + 2^2 = 68
6^2 + 8^2 = 100
1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

方法一 尾递归

思路

根据示例来看，函数的执行过程是一个可递归的过程，首先，我们先写一个递归函数来模拟这个执行过程，然后按照示例 输入 19 来验证编写函数正确性， 然后 输入 任意数字（比方说 99999），这时，会发现报内存溢出的错误，那这道题就变成了如何解决堆栈溢出的问题： 首先，我们要考虑的是，为什么会内存溢出？从题目中，我们可以看到"也可能是无限循环但始终变不到 1"，是"无限循环"导致内存溢出， 那我们就应该想一个方式去终结这个"死循环"。首先我们要找到这个循环的规律，怎么找？把递归内容打印（console.log）出来。这时，你会发现一个有规律的死循环。 那么，我们只要用一个变量（once）记录已经输入过的值，一旦出现第二次相同输入，就终止递归，并返回"非快乐数"的结果（false）。

详解

1. 申请一个变量来存放已经执行过函数的"输入",如果出现重复输入，则说明进入了死循环，从"示例"来看：{19:true,82:true,100:true}

2. 将输入 19 转化为数组（[1,9]）

3. 将[1,9]进行平方和运算（$1^2 + 9^2 = 82$）

4. 判断平方和的结果是不是等于 1，若果是，则为"快乐数",否，则继续执行 fn 函数

5. 直到平方和等于 1 或者判定为死循环。

const fn = function (n, once) {
  if (once[n]) {
    return false;
  }
  const list = n.toString().split('');
  let result = 0;
  once[n] = true;
  list.forEach(val => {
    result += Math.pow(parseInt(val, 10), 2);
  });
  if (result === 1) {
    return true;
  } else {
    return fn(result, once);
  }
};
​
/**
 *
 * @param {number} n
 * @return {boolean}
 */
const isHappy = function (n) {
  const once = {};
  return fn(n, once);
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(log(n))$​

• 空间复杂度：$O(1)$​

方法二 尾递归

思路

其实和方法一类似，只不过终止循环的条件有所不同，输入 99，观察"函数一"执行时的输出可得，如果函数执行过程中出现 4,16,37,58,89,145,42,20 就不是快乐数， 为了稍微提高一下函数执行效率，你也可以简单的枚举以下特殊的快乐数，比方说：1，10，100。

// 函数一
const isHappy = function (n) {
  console.log('n = ', n);
  let result = 0;
  const list = n.toString().split('');
  list.forEach(val => {
    result += Math.pow(parseInt(val, 10), 2);
  });
  if (result === 1) {
    return true;
  } else {
    return isHappy(result);
  }
};

详解

1. 已知非快乐数[4,16,37,58,89,145,42,20]

2. 已知快乐数：1

3. 将输入（19）转化为数组（[1,9]）

4. 将[1,9]进行平方和运算（$1^2 + 9^2 = 82$）

5. 判断平方和的结果是不是等于 1，若果是，则为"快乐数",否，则继续执行 fn 函数

6. 直到平方和等于 1 或者判定为非快乐数。

const isHappy = function (n) {
  const unHappy = [4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20];
  if (n === 1) {
    return true;
  }
  if (unHappy.indexOf(n) > -1) {
    return false;
  }
  let result = 0;
  const list = n.toString().split('');
  list.forEach(val => {
    result += Math.pow(parseInt(val, 10), 2);
  });
  if (result === 1) {
    return true;
  } else {
    return isHappy(result);
  }
};

判断优化

可以从 unHappy 取任意一个数作为判断条件，可以减少 indexOf 函数带来的时间消耗。

const isHappy = function (n) {
  if (n === 1) {
    return true;
  }
  if (n === 4) {
    return false;
  }
  let result = 0;
  const list = n.toString().split('');
  list.forEach(val => {
    result += Math.pow(parseInt(val, 10), 2);
  });
  if (result === 1) {
    return true;
  } else {
    return isHappy(result);
  }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(log(n))$​

• 空间复杂度：$O(1)$​

  事先通过规律已经找到了所有非快乐数，unHappy 的内存空间的开辟是固定的，所以空间复杂度是 $O(1)$。

阶乘后的零

给定一个整数 n，返回 n! 结果尾数中零的数量。

示例1

输入: 3
输出: 0
解释: 3! = 6, 尾数中没有零。

示例2

输入: 5
输出: 1
解释: 5! = 120, 尾数中有 1 个零.

方法一 暴力法

思路

1. 尾数中有 0 必定是是 10 的倍数

2. 尾数中有多少个 0 就就是整个数能有多少个因子 10

3. 因子 10 又可以拆成 $2* 5$ ，因此就是找整个数字可以拆分成多少了 $2 * 5$

4. 因为在因子中 2 的数量一定比 5 多，所以实际上我们只要找到因子 5 的个数就可以找到尾数中 0 的个数了，所以这个问题就可以转换成找因子 5 的个数。

详解

1. 循环 1 ~ n，找出能被 5 整除的数字

2. 找到能被 5 整除的数字，找该数字能被拆分成多少个因子 5

3. 所有的个数相加就是尾数 0 的个数

const trailingZeroes = function(n) {
  let count = 0;
  for(let i = 1; i <= n; i++) {
    let num = i;
    if (num % 5 === 0) {
      while(num % 5===0 && num !== 0) {
       count += 1;
       num = parseInt(num / 5);
      }
    }
  }
  return count;
}

复杂度分析

• 时间复杂度为: $O(n^2)$​

  因为要进行两次循环，所以时间复杂度为$O(n^2)$，当数字比较大的时候有性能问题

• 空间复杂度：$O(1)$​

  没有申请额外空间，所以空间复杂度为$O(1)$​

方法二

思路

整体思路和方法一基本一致，都是找因子5的个数，只是方法二是在找因子5的个数时做文章，用耗时更少的方法来找5的个数

详解

1. n! 这些乘数中，每隔 5 个数，肯定会有一个数至少能拆出一个 5 因子。所以 n / 5 = 至少会出现的 5 的个数。

2. 因为 n / 5 并不能完全算出 5 因子的个数，比如若某个数 25 = 5 * 5，分解后得到的 5 也算一个，所以能被 25 因式分解相当于会出现 2 个 5 因子，而第一步中除以 5 算个数的时候已经算了一个了，所以相当于比之前会多一个 5 因子

3. 依此类推，能被 25 5 = 125 因式分解的相当于比之前按 25 因式分解的时候又多出一个 5 因子。能被 125 5 = 625 因式分解的相当于比按 125 因式分解时又多出一个 5 因子。还有 625 * 5 ……

   所以n! 的结果可以拆分为多少个 5 因子呢：

   n/5 + n/25 + n /125 + n/625 + …

function trailingZeroes(n) {
  let count = 0;
  while (n > 0) {
      n = parseInt(n / 5);
      count += n;
  }
  return count;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(log(n))$，

  遍历次数为 $n / 5^x = 1$；即 $x = \log_5(n)$，所以时间复杂度为 $O(log(n))$​

• 空间复杂度：$O(1)$​

  没有申请额外空间，所以空间复杂度为$O(1)$​